Préformats pour codes source PlainTeX: twelvea4.tex et epsf.tex
Chapitre zéro Théorèmes sur les intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Inégalité de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Théorèmes de convergence dominée:
--- sur un intervalle borné
(théorème 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
--- sur un intervalle non borné
(théorème 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
--- variante
(théorème 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
--- celui de Henri Lebesgue
(théorème 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Théorèmes de dérivation:
--- classique
(théorème 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
--- de Lebesgue
(théorème 6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Intégrale dépendant d'un paramètre complexe (théorème 7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chapitre I Formule de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1. Intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Relations entre intégrales doubles et intégrales curvilignes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4. Domaines ne vérifiant pas la condition h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5. Intégrales curvilignes réductibles par quadrature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6. Domaines à trous. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7. Homologie des lacets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8. Intégrales curvilignes à variable complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Chapitre II Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1. Une propriété des polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2. Fonctions analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3. Séries entières convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4. Théorie de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5. Fonctions multiformes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Chapitre III Calcul des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1. Séries de Laurent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2. Théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3. Calculs d'intégrales définies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4. Comment calculer pratiquement les résidus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5. Fonction d'Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6. Fonctions puissance non entière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Chapitre IV Fonctions eulériennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1. Présentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2. Prolongements analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3. Formule d'Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4. Dérivée de G(z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5. Développements eulériens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6. Intégrale de Hankel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Chapitre V Transformations conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
[ne contient pas encore la transformation de Schwarz-Christoffel qui
sera ajoutée ultérieurement]
1. Les transformations géométriques du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2. Propriétés géométriques des fonctions analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3. Fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4. Autres exemples: polynômes, rosettes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Chapitre VI Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
1. Comment Fourier a résolu l'équation de la chaleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2. Transformation intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3. Principales propriétés de la transformation intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4. Notions de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5. Espace L2(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6. Transformation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Chapitre VII Intégrales divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
1. Exemple de calcul d'une intégrale semi-convergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
2. Valeur principale de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3. Pseudo-fonctions de Hadamard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
--- Illustrations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 à 194
Chapitre VIII Distributions (théorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
2. Définition mathématique des distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3. Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4. La continuité dans l'espace S(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5. Intégrales avec poids, et extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6. Dernières remarques sur l'espace S(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7. Dérivation des distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8. Transformation de Fourier des distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9. Limites de distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Chapitre IX Calculer avec les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
1. Dérivées de fonctions non dérivables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
2. Multiplication et convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
3. Exemples et applications des multiplications et convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
A. Convolution par les distributions de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
B. Convolution par les dérivées de d
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
C. Régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
D. Résolution d'équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4. La famille Ya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Chapitre X Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
1.Espaces euclidiens de dimension infinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
2. Espaces de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
3. Bases orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4. Exemples de bases orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
A. Polynômes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
B. Fonctions et polynômes d'Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
C. Fonctions et polynômes de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5. Théorèmes de Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Chapitre XI Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
1. Opérateurs continus et opérateurs discontinus fermés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
2. Valeurs propres et spectre d'un opérateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
3. L'oscillateur quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
4. Opérateurs autoadjoints et opérateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
5. Fonctions d'opérateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
6. Groupes unitaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
7. L'espace L2(S) et les harmoniques sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8. Théorie de l'atome d'hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
FIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332