NOUVEAU  :
18 mars 2004 :
Le chapitre 13 a été refondu.
06 avril 2004 :
Un index alphabétique complet a été ajouté.
20 avril 2004 :
Les chapitres 01 à 12 ont été relus et corrigés.
Il subsistait de petites erreurs et des fautes typographiques,
et certaines explications ont été réécrites pour être plus claires.

 

 

Table des matières

 

 

Avertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Avertissement

Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

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Chapitre I   Le hasard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

           1. Le langage du Calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

           2. Étude de deux exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

                     - distribution de boules dans des boî tes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

                     - tirage de cordes dans un cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

           3. La signification de l'équiprobabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

           4. Hasard et déterminisme mathématiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

           5. Hasard et déterminisme dans la Nature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Chapitre II   Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

           1. Suites avec répétition ou tirages avec remise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

           2. Suites sans répétition ou tirages sans remise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

           3. Combinaisons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

           4. Partitions en groupes de taille donnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

           5. Subdivisions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

           6. Une introduction à la Physique statistique:
                 la loi de Planck et le rayonnement du corps noir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Chapitre III   Marches aléatoires et lois de l'hérédité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

           1. Graphe d'une marche aléatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

           2. Le problème du retour à zéro d'une marche aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

           3. Le principe de symétrie de Désiré André. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

           4. La loi du dernier retour. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

           5. Loi de l'hérédité de Mendel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

           6. Loi de Hardy-Weinberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Chapitre IV   Indépendance stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

           1. La signification de l'indépendance stochastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

           2. L'effacement de la causalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

           3. Probabilités conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

           4. Relativité du hasard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Chapitre V   Réunions d'événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

           1. Qu'est-ce qu'un événement? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

           2. Formule de Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

           3. Le problème des coï ncidences fortuites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

           4. Les textes aléatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Chapitre VI   Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

           1. Le concept de variable aléatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

           2. Loi d'une variable aléatoire. Espérance, variance.
                 Fonction génératrice. Fonction caractéristique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

           3. L'indépendance stochastique de deux (ou plus) variables aléatoires. . . . . . . . . . . . . . . 142

           4. La loi conjointe de deux (ou plus) variables aléatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Chapitre VII   La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

           1. Un exemple simple: la marche aléatoire ou le jeu de pile ou face. . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

           2. Une propriété des fonctions caractéristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

           3. La somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes. . . . . . . . . . . . . . 155

Chapitre VIII   Processus en cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

           Problème 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

           Problème 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

           Problème 3: réaction en chaî ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

           Étude d'un cas particulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

           Étude du cas général. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

           Graphiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Chapitre IX   Lois de probabilité asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

           1. Loi de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

           2. Pourquoi la densité gaussienne est-elle si répandue? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

           3. Loi de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

           4. La loi des queues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

           5. Autres lois asymptotiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

                     - loi du dernier retour. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

                     - loi de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

                     - lois du c2 et de Student. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Chapitre X   Les fondements de la statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

           1. Le principe des tests statistiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

           2. La théorie des échantillons de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

           3. Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Chapitre XI   Tests statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

           1. Les densités cr2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

           2. Le test du c2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

           3. Comment tester une hypothèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

           4. Le test de Student. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

Chapitre XII   Étude statistique des dépendances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

           1. Corrélation de deux variables aléatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

           2. Moyenne, variance, et covariance empiriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

           3. Corrélation statistique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

           4. Régression non linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

           5. Comment trouver le bon modèle: l'exemple de Planck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

           6. Corrélation et causalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

Annexe du chapitre XII   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

           Description de la méthode de Levenberg-Marquardt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

           Programme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

Chapitre XIII   Corrélations E.P.R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

           1. Descripion du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

           2. Interprétation de J. S. Bell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

           3. Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

           4. Un modèle géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

           5. Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

Chapitre XIV   L'irréversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

           1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

           2. La nature microscopique des gaz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

           3. Un modèle simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

           4. Discussion du modèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

           5. Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

Annexe du chapitre XIV  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

Bibliographie du chapitre XIV  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

Bibliographie générale  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

Index alphabétique  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

FIN  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474