J. Harthong (1992)
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La caractéristique la plus universellement célèbre de la philosophie platonicienne est ce qu'on appelle l'idéalisme platonicien. Cet aspect du platonisme est si célèbre qu'il est devenu un cliché, ce qui a pour conséquence que sa véritable signification s'est effacée. Je voudrais ici essayer de retrouver la vraie signification de l'idéalisme platonicien. Je pense que les philosophes classiques ont souvent eu des visions ou des intuitions qui dépassaient leur propre époque, qu'il leur était donc impossible de comprendre vraiment eux-mêmes ou de clarifier avec ce qui était connu de leur temps. Je ne cherche pas à insinuer qu'il s'agirait de visions prémonitoires; beaucoup de phrases de la Bible peuvent donner le sentiment qu'elles avaient été écrites pour des événements qui se produisent aujourd'hui; dans des personnages des comédies d'Aristophane ou de Molière, on n'a aucune peine à reconnaî tre des caractères typiques tout-à-fait contemporains. La Science ne s'est pas construite uniquement par l'accumulation de découvertes faites par hasard, elle est aussi orientée par une curiosité éternelle de l'esprit pour certains aspects du monde, qui s'expriment dans une insatisfaction face à des constatations brutes. La quête d'explications satisfaisantes pour l'esprit est déjà présente chez Platon, et cela ne signifie pas que Platon avait prédit ou pressenti l'avenir, ni que la postérité est restée influencée par Platon au point de ne pouvoir échapper à sa gravité. Cela signifie simplement que Platon décrivait des caractères universels de la pensée humaine, comme Molière ou Aristophane avaient décrit des caractères universels de la psychologie humaine.
Je voudrais montrer que ces caractères éternels de la pensée, per cus par Platon, sont bien présents dans la science moderne, indépendamment de toutes les dénégations matérialistes ou positivistes. Je ne nie pas que ces caractères éternels de la pensée humaine décrits par Platon, tout comme les caractères psychologiques éternels décrits par Aristophane ou Molière, puissent ``s'expliquer'' par la neurophysiologie, mais ce n'est pas mon propos et je ne prendrai pas parti dans cette polémique.
Parmi les clichés sur l'idéalisme platonicien, on peut tout particulièrement noter ce qu'on appelle le platonisme mathématique. Le représentant typique de cette métaphysique est Georg Cantor mais en aucun cas Platon, comme je me propose de le montrer [Notez bien que ce n'est pas la conception de Cantor que je dénonce comme cliché, mais la confusion avec Platon]. On appelle platonisme mathématique la profession de foi dans l'existence réelle et a priori des objets idéaux mathématiques; on oppose alors le platonisme à l'intuitionnisme ou au formalisme. L'intuitionnisme postule que les objets idéaux n'existent pas a priori, mais sont construits au fur et à mesure des besoins (et donc ne sont pas déterminés à l'avance). Le formalisme postule aussi que les objets idéaux n'existent pas a priori, mais qu'on peut fabriquer des axiomatiques en langage codé qui, une fois acceptées, pourront tenir lieu d'objet idéal.
Toujours selon les idées reçues, mais dans la physique, le platonisme s'oppose au matérialisme ou au positivisme; le platonicien ou le platoniste affirme que le monde physique est un reflet d'un monde idéal qui existe ontologiquement, et où les lois sont exactes et de nature mathématique, tandis que dans le reflet l'exactitude des lois mathématiques est corrompue par la présence de matière, de sorte que les lois sont seulement approchées. Le matérialiste affirme au contraire que le monde matériel est le seul qui existe ontologiquement, que les lois sont plaquées artificiellement sur lui par l'homme et ne peuvent donc par principe avoir qu'une valeur de vérité très relative. Le positiviste affirme que le monde matériel n'existe pas ou ne concerne pas la physique, et que les lois se bornent à décrire ``ce qu'on observe''.
Les intuitionnistes, les formalistes, les matérialistes, ou les positivistes, s'accordent pour trouver que le platonisme est une naï veté.
Toutes les opinions ainsi répertoriées se caractérisent par une profession de foi en l'existence ou en la non-existence de quelque chose, mais ne se préoccupent pas de savoir comment on pense, ni comment on décide du vrai ou du faux, ni comment on observe. Or, il se trouve qu'en lisant les textes de Platon (notamment ceux qui parlent de la géométrie et de la possibilité d'une connaissance par la seule pensée, qui serait plus sûre que celle qui passe par les sens) j'ai vu tout autre chose qu'une profession de foi en des objets idéaux. Comme je l'ai dit au début, j'y ai vu une description des caractères éternels de la pensée humaine, qui est encore valable aujourd'hui plus que jamais, malgré toutes les dénégations matérialistes ou positivistes. Je soupçonne que la question de l'ontologie des idées a été ajoutée par les philosophes chrétiens. Ce qui caractérise les opinions ou clichés répertoriés ci-dessus, c'est qu'on peut les analyser dans tous les sens, on n'y trouvera rien d'autre qu'une définition de l'existence ou de la vérité; adopter l'une de ces opinions, c'est choisir la conception de la vérité la plus conforme à ses goûts, ce qui sans doute apporte un confort intellectuel, mais cela n'apporte aucune compréhension, aucun enseignement sur la nature de la pensée scientifique.
Le texte de Platon le plus célèbre, et qui est toujours cité comme
typique de la conception platonicienne de la vérité, est bien sûr la
fameuse allégorie de la caverne, où il est expliqué que des
hommes prisonniers de la caverne ne voient que les ombres du
monde extérieur (projetées sur le fond de la caverne), et qu'ils ne
peuvent donc pas comprendre les raisons des mouvements de ces ombres.
Mais ces raisons se comprennent aisément si on peut accéder au
monde extérieur à la caverne. Cette allégorie devait servir à
justifier la nécessité d'éduquer les responsables de la cité en
arithmétique et en géométrie, car ces deux sciences permettent
d'expliquer des phénomènes du monde sensible, comme les objets du
monde extérieur expliquent les ombres. Ainsi, il est écrit (Socrate
parle à Glaucon):
Or il est une chose, repris-je, que tous ceux qui
sont tant soit peu versés dans la géométrie ne nous contesteront
pas, c'est que cette science a un objet entièrement différent de ce
que disent d'elle ceux qui la pratiquent.
Ils en parlent en termes ridicules et mesquins; car c'est toujours en
praticiens et en vue de la pratique qu'ils s'expriment, et qu'ils parlent
de carrer, de construire sur une ligne donnée, d'ajouter et autres
termes semblables qu'ils font sonner. Or cette science n'est cultivée
qu'en vue de la connaissance.
Ne faut-il pas encore convenir de ceci: qu'on la cultive pour connaî
tre ce qui est toujours, et non ce qui à un moment donné naî t et
périt. (La République VII, IX)
Plus loin, il est question de l'astronomie:
Ces constellations variées du firmament sont
brodées dans une matière visible. De ce fait, bien qu'elles soient, il
faut le reconnaî tre, ce qu'il y a de plus beau et de plus exact dans cet
ordre, elles sont bien inférieures aux constellations vraies et à ces
mouvements suivant lesquels la vraie vitesse et la vraie lenteur, selon
le vrai nombre et dans toutes les vraies figures, se meuvent en relation
l'une avec l'autre et meuvent en même temps ce qui est en elles; et ce
sont là des choses perceptibles par la raison et l'intelligence, mais
non par la vue. (La République VII, XI)
À propos de la musique:
En se bornant à mesurer et à comparer entre
eux les accords et les sons perçus par l'oreille, on fait, comme les
astronomes, un travail inutile. (¼) Nos musiciens parlent de je
ne sais quelles gammes diatoniques; ils tendent l'oreille comme pour
surprendre la conversation de leurs voisins, et les uns prétendent
qu'entre deux sons ils en perçoivent encore un autre, que c'est le plus
petit intervalle et qu'il doit servir de mesure; les autres au contraire
soutiennent qu'il est pareil aux sons précédents; mais les uns comme
les autres font passer l'oreille avant l'esprit. (¼)
Ils font la même chose que les astronomes: ils cherchent des nombres
dans les accords qui frappent l'oreille; mais ils ne s'élèvent pas
jusqu'aux problèmes qui consistent à se demander quels sont les
nombres harmoniques et ceux qui ne le sont pas, et d'où vient entre
eux cette différence. (La République VII, XII)
Ce qui s'exprime dans ces lignes, signifie en langage moderne que la véritable connaissance doit se fixer pour but, non de mesurer les proportions qu'on observe dans le monde sensible, mais de découvrir de quelle loi plus profonde elles sont le reflet. Si Platon avait pu connaî tre la science moderne, il aurait écrit que les lois empiriques telles que la loi d'Ohm ou la loi d'induction de Faraday sont le reflet ou la conséquence de l'existence d'une harmonie invisible, celle qui est exprimée par les équations de Maxwell. Celui ``qui fait passer les yeux ou l'oreille avant l'esprit'' n'atteint que les lois empiriques, mais le véritable scientifique atteint les équations de Maxwell par la pensée pure. La loi d'Ohm ou la loi de Faraday est semblable aux régularités que les habitants de la caverne observent dans les mouvements des ombres qui sont projetées sur le fond, mais les équations de Maxwell sont semblables à la description du mouvement des êtres et des objets extérieurs à la caverne, dont l'ombre est projetée sur le fond.
Il serait aisé de critiquer l'idéalisme platonicien si celui-ci érigeait la vérité ainsi atteinte par l'esprit en vérité ultime; il suffirait d'objecter par exemple que les equations de Maxwell ne sont elles-mêmes qu'une illusion, un reflet d'une réalité encore plus élevée, qui s'exprime dans les lois de la mécanique quantique. À l'époque de Platon, on avait pressenti que la géométrie (abstraite et déductive) était une connaissance ``plus haute'' que la mesure des longueurs et la connaissance purement empirique de leurs proportions. Mais on ne pouvait pas encore savoir que cette géométrie pourrait un jour se révéler comme un reflet d'une vérité ``encore plus haute''. De même, lorsqu'on n'avait pas encore découvert les équations de Maxwell, on pouvait pressentir, comme Maxwell, que les lois empiriques de l'électromagnétisme devaient n'être que l'ombre de lois ``plus vraies''. Mais après avoir découvert non seulement les équations de Maxwell, mais même que ces dernières ne sont que l'ombre de lois encore plus vraies, on commence à soupçonner que les lois encore plus vraies qu'on vient de découvrir ne sont probablement que l'ombre de lois encore encore plus vraies qu'on découvrira un jour.
J'ai cherché vainement dans les textes de Platon un passage exprimant la conviction que le monde situé à l'extérieur de la caverne est définitivement la réalité. Si Glaucon avait eu plus d'imagination, ou si tout simplement la réplique à Socrate avait été faite par un voyageur venu du futur, de sorte que la question de savoir si le monde extérieur à la caverne ne pourrait pas lui aussi être l'ombre d'une réalité encore plus cachée ait été posée explicitement à Socrate, je suis certain qu'il aurait répondu que, bien entendu, le monde découvert par le prisonnier évadé de la caverne devait aussi n'être probablement qu'une illusion, reflet d'un monde encore plus réel. En disant cela, j'ai l'air de spéculer sur ce que Platon aurait dit si ¼, mais ce n'est là qu'une façon imagée de parler: je veux simplement dire que la tradition a déformé la vraie signification de l'allégorie de la cavene. Platon a écrit que les prisonniers de la caverne ne voient que des ombres, et que si on veut comprendre pourquoi les ombres se meuvent comme elles se meuvent, il faut sortir de la caverne pour voir les objets qui projettent ces ombres; il n'a jamais écrit qu'ensuite, une fois habitué au monde extérieur, l'ancien prisonnier a accédé à la vérité ultime. Si on veut prendre l'allégorie de la caverne vraiment au sérieux, tel qu'elle est écrite, et non telle qu'elle a été réduite par la tradition, on doit se mettre à la place du prisonnier qui vit cette aventure; il est clair qu'en découvrant le monde extérieur, il comprend soudain de nombreux phénomènes qui étaient auparavant des mystères car il accède à leurs causes; mais en même temps, il rencontre de nouveaux mystères que dans la caverne on ne pouvait même pas soupçonner.
La postérité (probablement à cause des convictions chrétiennes)
a retenu de Platon que la véritable réalité appartient au monde des
idées, le monde sensible étant celui de l'erreur, ce qui semble
absurde du point de vue du matérialisme rationaliste. C'est en effet le
monothéisme qui rend philosophiquement nécessaire l'existence d'une
vérité ultime. Mais si on lit les textes de Platon en s'affranchissant
des générations de commentateurs, et en ne gardant pour tout bagage
que la culture scientifique moderne, on y voit, non une délimitation de
ce que doit être la connaissance, mais l'affirmation que la
véritable connaissance de la nature doit être atteinte avec l'aide de
l'esprit et non par la seule expérience sensible. Or cette affirmation,
non seulement n'est pas absurde, mais se trouve même entièrement
confirmée par toute l'histoire de la science (l'histoire des équations
de Maxwell étant à cet égard exemplaire, mais pas unique). On
pourra par exemple citer ce passage très connu d'Albert Einstein:
Je suis convaincu que la construction purement
mathématique nous permet de découvrir les concepts et les lois qui
les relient, lesquels nous donnent la clé pour comprendre les
phénomènes de la nature. L'expérience peut, bien entendu, nous
guider dans notre choix des concepts mathématiques à utiliser; mais
il n'est pas possible qu'elle soit la source d'où ils découlent. Si elle
demeure, assurément, l'unique critère de l'utilité, pour la physique,
d'une construction mathématique, c'est dans les mathématiques que
réside le principe vraiment créateur. En un certain sens, donc, je
tiens pour vrai que la pensée pure est compétente pour comprendre le
réel, ainsi que les anciens l'avaient rêvé. (On the Methods of Theoretical Physics, The Herbert Spencer
lecture, Oxford, June 10, 1933).
Toujours dans le Livre VII de La République, déjà abondamment cité ci-dessus, est exprimée une hiérarchie des sciences, ordonnée selon les rôles respectifs de la pensée pure et de l'expérience sensible. Au sommet est placée l'arithmétique (la science des nombres entiers); en seconde place la géométrie, en troisième l'astronomie, et en quatrième la science de l'harmonie (celle qui explique les sons par les rapports numériques entre leurs fréquences). La raison de cette hiérarchie est que l'arithmétique peut totalement s'affranchir du sensible; la géométrie ne peut s'affranchir du sensible qu'après avoir posé comme axiomes certaines vérités inspirées par le sensible; enfin, l'astronomie et l'harmonie sont encore largement de la physique expérimentale, en ce sens que l'esprit y est contraint d'accepter provisoirement les faits observés empiriquement pour y puiser le minimum d'information nécessaire.
Afin de mieux montrer que toute cette affaire de connaissance par la pensée n'a rien à voir avec le postulat de l'existence (ce mot ne veut rien dire) d'un monde des idées, je voudrais maintenant examiner de plus près le rapport de la géométrie avec le monde sensible (on parlera plus tard de l'arithmétique). On peut concevoir la géométrie comme science empirique de l'espace. C'est ce que font ``ceux qui la pratiquent'' (voir ci-dessus la citation du § IX de la République). Ceux qui la pratiquent sont comme les prisonniers de la caverne, ils ne peuvent que mesurer des longueurs, et ces mesures ne sont que des ombres. Supposons par exemple qu'ils mesurent le rapport de la circonférence au diamètre d'un cercle. Le rapport trouvé pourra être, selon la précision des instruments de mesure, 3, 3.1, 3.14 (on ne pouvait guère aller au delà à l'époque de Platon. On peut imaginer que, si la science était restée strictement empirique et n'avait jamais fait appel à la pensée (c'est-à-dire si les prisonniers n'étaient jamais sortis de la caverne), on mesurerait aujourd'hui ce rapport avec des méthodes interférométriques, et on parviendrait à quelque chose comme 3.14159265357 ± 0.00000000003. Une loi empirique dirait que ce rapport est le même pour tous les cercles, quel que soit leur rayon, dans les limites de précision des expériences. Ce nombre mesuré empiriquement n'est que l'ombre d'un nombre auquel on peut accéder par la seule pensée. Il se trouve que les géomètres sont effectivement parvenus à y accéder par la seule pensée, c'est-à-dire que le prisonnier a effectivement réussi à se libérer de ses liens et à trouver le chemin qui mène à l'extérieur de la caverne. Le problème est maintenant de savoir comment, mais en tout cas on remarquera que tout cela n'est pas une affaire de mondes idéaux qui ``existeraient'' ou ``n'existeraient pas'', ni surtout une affaire de philosophie, d'idéologie, ou d'opinion, puisque personne ne nie (ni les matérialistes, ni les positivistes, ni les bouddhistes, ni les intuitionnistes) que l'humanité a réellement trouvé le moyen de calculer le nombre p par la seule pensée, c'est-à-dire sans rien mesurer. Et dans la physique moderne, que Platon n'a pas connue, la loi de la gravitation universelle en 1/r2, ou les équations de Maxwell, ou la théorie de la relativité générale, ont été trouvées par la pensée - comme le dit A. Einstein dans le texte cité - et personne ne nie (ni les matérialistes, ni les positivistes, ni les bouddhistes, ni les intuitionnistes) que la connaissance de la nature exprimée par ces lois mathématiques est plus profonde que la simple compilation des mesures sous forme de courbes et de graphiques.
L'allégorie de la caverne ne doit donc pas être comprise dans un sens absolu, mais dans un sens relatif. La réunification de l'Allemagne a montré des masses de gens qui avaient été maintenus enfermés depuis leur naissance; l'enfermement prolongé dans l'Allemagne de l'Est (la caverne) a eu sur eux l'effet d'idéaliser l'Allemagne de l'Ouest (le monde extérieur) au point d'en faire une sorte de paradis où tout fonctionne parfaitement. Mais pour nous, les occidentaux, ce monde de l'Ouest apparaî t-il comme fonctionnant parfaitement? De même, les habitants du monde extérieur à la caverne ne pouvaient sérieusement penser que leur monde était la cause première: pour eux il devait être l'effet de causes encore plus extérieures. Le schéma des allemands de l'Est naï fs découvrant le paradis du marché et de la consommation est bien sûr un mythe de la propagande occidentale, mais justement, c'est bien de mythe que Platon parlait.
Mon but n'est pas de chercher comment les philosophes chrétiens ont
interprété les textes de Platon dans le sens d'un idéalisme
ontologique, ni comment une tradition universitaire moderne a pu
ensuite maintenir l'amalgame. Mais le résultat est là: dans l'ouvrage
collectif Penser les mathématiques (coll. ``Points'', éd. du Seuil,
1982), page 58, on lit la définition (sic) suivante du
platonisme mathématique [La citation est de Roger Apéry;
veuillez ne voir ici aucune critique contre sa personne: en donnant cette
définition, il n'avait d'autre but que de rapporter la vulgate, ce qui ne
signifie pas qu'il en est dupe.]:
Comme dans toute science, la mathématique
traite d'une réalité indépendante de chaque mathématicien
particulier: la géométrie étudie des droites et des cercles idéaux,
non des traits et des ronds dessinés. La conception platonicienne
reporte sur le monde mathématique le désir d'absolu et d'éternité
de l'esprit humain.
Les principales affirmations du platonisme mathématique sont les
suivantes:
1°
Toute question mathématique concerne des objets aussi
réels (et même plus réels) que les astres, les animaux, ou les
végétaux: elle a donc une réponse (éventuellement inconnue)
affirmative ou négative: c'est la logique bivalente et son corollaire,
le principe du tiers exclu. (¼)
Dans cette définition on trouve plus loin à titre d'illustration une
citation de Georg CANTOR:
Sans un petit grain de métaphysique, il n'est
pas possible à mon avis, de fonder une science exacte. La
métaphysique telle que je la conçois est la science de ce qui
est, c'est-à-dire de ce qui existe, donc du monde tel qu'il est en soi
et pas tel qu'il nous apparaî t.
Il y a donc bien plus qu'une nuance entre cette présentation du platonisme et la lecture que j'en ai faite moi-même.
Mais peu importe ici de savoir laquelle des deux interprétations est la plus proche de la véritable philosophie platonicienne; je ne suis pas un expert des textes de Platon et je ne souhaite pas entrer dans une querelle d'érudits à ce sujet. En lisant les textes originaux et non les commentaires, je n'ai pas vu d'opposition binaire entre ce qui serait absolument et définitivement vrai (le monde extérieur) et ce qui serait l'illusion (les ombres); au contraire, je n'ai vu qu'une opposition potentielle et relative, qui se contente d'affirmer, comme Einstein et comme les physiciens modernes, qu'on peut accéder par la pensée pure à une connaissance supérieure à la simple compilation des faits observés (mais non nécessairement absolue ou définitive), comme par exemple trouver le nombre p sans rien mesurer.
Platon n'a pas connu la physique moderne; les seules théories physiques qu'il a connues étaient la géométrie, l'astronomie, et l'harmonie; et encore, à cette époque reculée, la seule à avoir vraiment atteint ce stade tel que nous le concevons aujourd'hui était la géométrie. J'appelle théorie physique une théorie sur la nature, dans laquelle les mathématiques sont pertinentes et qui est susceptible de vérification expérimentale, conformément à ce qui est enseigné par l'épistémologie moderne. Aujourd'hui on ne considère plus la géométrie comme une théorie physique. Depuis la discussion sur les géométries non-euclidiennes, où les adversaires, vaincus, de ces dernières utilisaient comme principal argument que la géométrie était la théorie de l'espace physique, et donc que l'euclidienne était confirmée par l'expérience, tandis que les autres étaient infirmées, la géométrie est considérée comme mathématique à part entière et donc indépendante de la physique. Toutefois, le triomphalisme des vainqueurs a simplement arrêté la discussion en imposant une certitude, mais non résolu le problème discuté; or, la discussion sur l'espace physique aurait mérité d'être poursuivie, indépendamment de la question des géométries non-euclidiennes. La ``certitude'' imposée par les vainqueurs a fait oublier que, du temps de Platon, la géométrie était la théorie physique de l'espace.
Ce statut de la géométrie est essentiel pour comprendre le rôle que lui donne Platon pour la connaissance. Si on considère la géométrie comme une axiomatique abstraite qui n'est responsable qu'envers la logique, et n'a aucun rapport avec l'expérience sensible, il n'y a aucune surprise, ou aucun mystère à obtenir le nombre p. On peut considérer l'ensemble de toutes les géométries non-euclidiennes possibles, disons pour fixer les idées celles à courbure constante; la coubure positive correspond à la géométrie riemannienne (sphérique) et la courbure négative à la géométrie de Lobatchevski (hyperbolique). La frontière entre les deux est alors la géométrie euclidienne. Si on tient toutes ces géométries pour équivalentes, le rapport q de la circonférence au diamètre est alors une fonction de la coubure k: on peut écrire q = f(k), et p est simplement la valeur f(0). On ne peut même pas parler d'une connaissance liée à la valeur de p; la seule connaissance est la fonction f, qui est une propriété implicite de l'axiomatique; et surtout, cette connaissance n'a aucun caractère miraculeux; on la démontre par déduction à partir de l'axiomatique, et elle n'est pas une vérité sur le monde réel, mais seulement une propriété de l'axiomatique, qu'on peut révéler par un travail mathématique purement formel, mais qui est implicitement contenue dans l'axiomatique. Quant à la valeur de cette fonction pour k = 0, elle est insignifiante: pourquoi faire jouer un rôle particulier à k = 0?
Or au contraire, ce qui a retenu l'attention des anciens, est que si on mesure le rapport de la circonférence au diamètre sur des cercles matériels, on trouve un résultat qui a un rapport avec le nombre p. Cela provient de ce que la géométrie euclidienne est une théorie physique de l'espace réel. On peut bien sûr exprimer cela soit en disant ``la géométrie euclidienne est un reflet de l'espace physique'' (version empiriste), soit en disant ``l'espace physique est un reflet de la géométrie euclidienne'' (version idéaliste), mais cela est inessentiel, ce qui compte est d'avoir vu le rapport. Platon, comme d'ailleurs Einstein, dit alors que, une fois posé que la géométrie euclidienne est la théorie physique de l'espace, on trouvera p par la pensée pure au lieu de le mesurer. La ``connaissance supérieure'' réside donc dans la prise de conscience que la géométrie euclidienne est la théorie physique de l'espace. Mais bien entendu, il existe un moment de la pensée où l'observation a été prise en compte. Ce moment de la pensée est identifiable: c'est le choix des axiomes d'Euclide, dont l'origine est empirique, mais qui ont été érigés en vérités évidentes pour la pensée. Il serait absolument ridicule de prétendre que Platon a nié l'origine empirique de telles vérités premières; dans les dialogues, chaque fois que Socrate prend la parole, il cite des exemples issus de l'expérience, et pense ensuite à partir de ces exemples. Il est donc exclu d'assimiler Platon aux théologiens du Moyen-âge (ou à leurs avatars modernes, les mathématiciens formalistes) qui voulaient totalement s'abstraire de toute référence empirique.
Nous arrivons ici au point intéressant. Si on mesure p directement, comme les géomètres praticiens ``qui en parlent en termes ridicules et mesquins'', ou comme les musiciens ``qui se bornent à mesurer et à comparer entre eux les accords et les sons perçus par l'oreille'', on ne peut obtenir que des résultats grossiers (même la technologie moderne ne permettrait guère de dépasser dix décimales), alors que la géométrie permet de calculer une infinité potentielle de décimales. C'est donc qu'en extrayant de l'expérience les vérités premières, on a pris en compte des propriétés qui étaient indépendantes de la précision technique des mesures, donc des propriétés purement qualitatives.
En allant au fond des choses, on découvre que ces propriétés sont les principes d'invariance (invariance de l'espace par translation et rotation).
Si on mesure empiriquement p, et qu'on trouve dix décimales garanties, cela ne permet pas de deviner les suivantes. Mais si on observe empiriquement que l'espace est invariant par translation et rotation, même si la preuve expérimentale de cette invariance n'est qu'approchée, le simple fait que ce soit une propriété qualitative permet de l'ériger en vérité infiniment exacte, c'est-à-dire mathématique (mais bien entendu, l'expérience peut un jour infirmer cette vérité supposée exacte, par exemple en trouvant pour p des décimales différentes). Si on lit l'un après l'autre les axiomes d'Euclide, on se rend compte qu'ils énoncent tous des propriétés qualitatives de l'espace, qui en dernière instance se ramènent à ces invariances. La vérification expérimentale de ces axiomes inclurait une estimation des incertitudes dues à la précision limitée des instruments: on devrait dire que ces invariances sont ``vraies dans la limite de précision des observations''. Par exemple pour l'axiome des parallèles ou postulat d'Euclide, on ne peut distinguer expérimentalement des droites passant par un même point et pratiquement confondues; mais si deux telles droites sont distinguables empiriquement l'une de l'autre, alors on peut aussi établir empiriquement que l'une des deux au moins coupera la parallèle à l'autre. L'énoncé empirique du postulat serait donc le suivant: si on trace une droite sur une très grande étendue de sable, et par un point extérieur à cette droite, une seconde droite qui, aussi loin qu'on puisse aller, ne coupe pas la première, alors, si on essaie d'en tracer une troisième passant par le même point et ne coupant pas non plus la première, on ne pourra la distinguer de la seconde. La vérité empirique de ce postulat fait appel à un seuil de précision qui est quantitatif, mais en dehors de ce seuil, l'énoncé est purement qualitatif. Il est donc possible par la pensée de séparer la vérité empirique en deux: d'un côté, la précision des instruments de vérification (qui est une quantité), et de l'autre la propriété abstraite (qui est qualitative). Si on ne retient de tous les axiomes d'Euclide dans leur version empirique que les propriétés qualitatives, on peut en déduire par la pensée pure toute la géométrie, mais celle-ci ne contient plus l'estimation des incertitudes.
Ainsi, dans la perception empirique du monde matériel et sensible, il existe une différence essentielle entre les quantités mesurées telles que le rapport de la circonférence au diamètre, et les propriétés qualitatives vérifiables expérimentalement avec une précision limitée: les premières ne peuvent être rendues abstraites (on ne peut pas deviner les décimales supplémentaires d'un nombre mesuré), tandis que les secondes peuvent être érigées en vérités abstraites (sans qu'il y ait rien à deviner). Dans les premières il faudrait ajouter une information inconnue pour passer du physique au mathématique, tandis que dans les secondes il suffit d'ôter une information (celle de la précision des instruments de mesure).
Le mécanisme de la ``connaissance supérieure'' apparaî t maintenant plus clairement. Le praticien borné ne procède que par des mesures; tout ce qu'il connaî t est obtenu par elles. Par contre le géomètre sélectionne, parmi toutes les vérités empiriques accumulées par les praticiens, celles qui énoncent une propriété qualitative; il suffit alors de les abstraire de leurs limites expérimentales pour en faire des vérités exploitables par la pensée pure, c'est-à-dire susceptibles de conduire par pure déduction à d'autres vérités nécessaires. L'Histoire de la science moderne a montré que c'est cette voie, et non la simple compilation de mesures, qui est à l'origine de tous les progrès essentiels de la physique. C'est parce que les lois de Képler, comme les axiomes d'Euclide, énonçaient des lois qualitatives séparables de leur précision que Newton a pu déduire la loi de la gravitation universelle; c'est du constat, empirique (expérience de Michelson-Morley) mais qualitatif, de l'indépendance de la vitesse de la lumière par rapport à la vitesse de l'observateur qu'Einstein a déduit la théorie de la relativité restreinte, et du principe d'équivalence (entre l'inertie et la gravitation) qu'il a déduit la théorie de la relativité générale. La mécanique quantique a été créée à partir du principe de correspondance (Schrödinger, 1923), et la théorie électromagnétique de Maxwell à partir de la loi de Coulomb, de la loi d'interaction des courants électriques (expérience d'Oersted), de la loi d'induction de Faraday, et de la conservation de la charge.
Il est remarquable que cette voie de la connaissance ait été pressentie comme supérieure dès l'Antiquité. C'est l'exemple de la géométrie, conçue comme théorie physique de l'espace et à l'époque unique exemple connu de théorie physique, qui a permis au philosophe athénien de comprendre la véritable nature de la physique, telle qu'elle se révèle encore deux mille ans plus tard. On a souvent opposé à Platon le philosophe écossais David Hume, qui professait que l'unique origine de notre connaissance était l'observation empirique; mais il me semble qu'il ne s'agit nullement d'un désaccord. Platon avait insisté sur le rôle de la pensée, car à son époque ce rôle n'était pas perçu comme il le méritait; inversement, David Hume vivait dans un monde chrétien qui refusait la matérialité du monde et il devait donc rétablir l'importance de l'observation. Mais le véritable fonctionnement de la science, indépendamment des déformations idéologiques, donne raison aux deux: Hume a raison de dire que toute connaissance procède de l'observation (les vérités qualitatives telles que les principes d'invariance sont bien issues de l'observation), et Platon a également raison de dire qu'on aboutit à une compréhension supérieure si on procède par déduction à partir de ces vérités qualitatives.
On peut donc résumer tout cela en disant que ce qui a permis de faire du nombre p un nombre mathématiquement défini et non une valeur approchée est d'avoir érigé une loi approchée mais qualitative en loi mathématique; une fois la loi mathématique énoncée, elle peut mener une vie propre. Si la découverte, même sous une forme grossièrement approximative, d'un nouveau principe d'invariance permettait un jour de faire de la constante de structure fine un nombre mathématiquement défini, ce résultat - rêvé depuis plusieurs décennies - serait universellement salué comme une découverte majeure; l'enthousiasme ne serait pas restreint à une minorité de partisans d'un prétendu platonisme. S'il en est ainsi, c'est parce que la méthode recommandée par Socrate à Glaucon dans le livre VII de la République permet réellement d'atteindre une connaissance supérieure à celle que fournit la mesure expérimentale de la constante de structure fine. Il ne s'agit pas d'une illusion due à l'ignorance ou à la naï veté des anciens. Il ne s'agit pas non plus d'une opinion philosophique: les grandes découvertes de la physique (résumées ci-dessus) ont été obtenues par ce procédé, c'est un fait historique et non postulat métaphysique.
Toutefois, comme je l'ai déjà souligné, lorsqu'une telle connaissance supérieure est atteinte, rien ne dit (contrairement à ce qu'une lecture superficielle a fait dire à Platon) que cette connaissance supérieure est la vérité ultime. Le monde extérieur à la caverne peut lui aussi s'avérer n'être fait que d'ombres. Le monde réel semble formé de couches successives, la caverne étant la plus basse ou la dernière, mais le monde devant la caverne n'étant que l'avant-dernière. L'homme étant curieux par nature va demander ce qui se passe à l'extérieur de la caverne tant qu'il peut croire que le monde extérieur est la réalité ultime; mais dès lors que le monde apparaî t comme formé de strates, la question intéressante est évidemment de savoir quelle est la première de toutes les strates. Cette question qui a torturé la pensée chrétienne est aujourd'hui depuis longtemps reléguée au grenier de l'Histoire. Mais ce qui me dérange, c'est que c'est cette idée, qu'il existerait une première strate, qui est assimilée au platonisme, et non l'idée que pour mieux comprendre ce qui se passe dans une strate, il faut aller voir ce qui se passe dans la strate supérieure.
Voici pourquoi cela me dérange. Il y a de cela quelques années, j'ai présenté dans un texte (Intuitionnisme 84) des réflexions sur l'incomplétude de l'arithmétique. Au départ il s'agissait de comprendre la signification de la mathématique non-standard, mais en fait il s'agissait de la signification de l'incomplétude. Je ne reparlerai pas ici de ce que j'entends par la signification de l'incomplétude, cela est expliqué dans Intuitionnisme 84. Ce que j'y ai expliqué a certes été critiqué, mais pas de la manière intéressante que j'espérais. Les critiques ne s'adressaient pas à l'argumentation ou à ma vision (peut-être fausse) de l'arithmétique, mais étaient dirigées contre ma prétendue invocation de ``l'existence'' des nombres ou de telle ou telle de leurs propriétés. J'ai tenté de répondre à ces critiques, mais cela n'a servi à rien. Je soupçonne que le raisonnement sous-jacent aux critiques a été à peu près le suivant:
a) postuler que les nombres ``existent'' est caractéristique de l'idéalisme platonicien (cf. la définition citée plus haut du platonisme mathématique);
b) l'idéalisme platonicien étant vaguement confondu avec l'idéalisme chrétien (on est cultivé, donc on sait que Plotin est un philosophe platonicien, ou, si on ne l'est pas, comme c'est le cas des mathématiciens ou des scientifiques, ``on le sent''), on voit dans cette croyance en l'existence des nombre des relents de mysticisme chrétien;
c) la science est laï que, elle ne doit en aucun cas faire appel à des présupposés religieux pour se fonder;
d) donc, toute référence à ``l'existence'' des nombres doit être rejetée.
Les mathématiciens du XXe siècle ont voulu tout fonder sur le paradis de Cantor et se libérer de toute référence au réel physique. On se rend bien compte, confusément, que cette entreprise est délirante. La mauvaise conscience qui en résulte fait qu'on éprouve une certaine honte en lisant des professions de foi comme celle de Cantor citée ci-dessus. Je pense que c'est pour cette raison qu'on m'a souvent objecté que la proclamation de ``l'existence'' des nombres, dont on découvre (et non dont on invente) les propriétés, est une idée platonicienne, comme si la platonicité était un vice mais elle le devient en vertu du raisonnement indiqué ci-dessus. Je rappelle toutefois que dans Intuitionnisme 84, le grand plaisir - pour les auteurs - n'était pas tant de proclamer que les nombres ``existent'', mais de dénicher cette idée chez L.E.J. BROUWER, le père de l'intuitionnisme, qui était censé, d'après la vulgate, penser exactement le contraire.
Si dans le présent article je me suis tant efforcé de retrouver, par la lecture des textes originaux, ce que je pense être les véritables idées de Platon, c'est justement pour montrer la naï veté du raisonnement a) - b) - c) - d) indiqué ci-dessus. Et maintenant, je voudrais revenir à ce qui était vraiment le sujet d'Intuitionnisme 84: non la question de savoir si les nombres ``existent'' ou pas (question absolument sans intérêt sauf si elle doit servir à montrer par exemple la déformation apportée aux idées de Brouwer par la vulgate intuitionniste), mais la question de la nature de la vérité arithmétique.
L'idée centrale d'Intuitionnisme 84 était que, contrairement à ce que postulent les idéologies traditionnelles (formalisme et intuitionnisme), le chercheur est devant l'arithmétique dans la même situation que devant la nature; que les nombres entiers naturels ont des propriétés que le chercheur n'a pas la liberté de choisir, mais seulement la possibilité de découvrir; et enfin (c'est l'incomplétude) que les propriétés des nombres entiers ne peuvent être enfermées exhaustivement dans une axiomatique. Bien entendu, j'accepte entièrement que mon point de vue soit qualifié de platonicien, si on se réfère à ce qui est réellement dit dans les textes originaux de Platon, tels que je les ai lus et interprétés. Mais je le récuse si on se réfère à la définition citée plus haut du platonisme mathématique.
Je reprends alors ici ce qui a été dit dans Intuitionnisme 84, mais cette fois à partir de Platon et non plus de Brouwer, en transposant (ou en actualisant) l'allégorie de la caverne. Pour représenter l'empirisme brut, on peut imaginer un personnage qui possède un ordinateur et étudie expérimentalement les propriétés des entiers, sans rien comprendre à la logique des calculs. Si on lui pose des questions telles que ``existe-t-il des couples a, b d'entiers, tels que a2 + b2 soit égal au carré d'un troisième nombre entier c'', il calcule les a2 + b2 pour a = 1,2,¼ et b = 1,2, ¼, et dès qu'il trouve un carré il crie: ``Ca y est! J'en ai trouvé!''. Ce personnage est comparable aux géomètres praticiens qui ne font que mesurer et compiler les résultats, ou aux musiciens ``qui font passer l'oreille avant l'esprit'': lui fait passer l'ordinateur avant l'esprit. D'autre part, la pensée pure sera représentée par Hilbert ou Peano, qui sont certains de parvenir à une connaissance supérieure des nombres en procédant uniquement par déduction et par récurrence.
Il est bien évident que Hilbert et Peano pourront dans d'innombrables problèmes damer le pion au programmeur; il leur suffira de prédire des résultats très longs à obtenir par le calcul, pour pouvoir passer aux yeux du programmeur pour des sorciers ou des dieux. Ils montreront ainsi aisément la supériorité de la pensée pure sur la pratique aveugle. Mais, comme il est bien connu, il y a des propriétés des nombres (conjectures indémontrables de l'arithmétique) que jamais Hilbert et Peano ne pourront prédire; mais il n'en sera pas moins vrai que le programmeur, sur son ordinateur, constatera expérimentalement que ces propriétés se vérifient à tous les coups. Bien entendu, si on érige ces constatations en axiomes, on pourra considérer comme osé ou audacieux de généraliser ainsi à une infinité potentielle une vérité qui n'a été vérifiée que sur un nombre limité de cas; mais cela n'est ni plus osé, ni plus audacieux, que d'abstraire comme mathématiquement exact une loi d'invariance de l'espace qui n'a été vérifiée expérimentalement qu'avec une précision limitée. Ce qui est cependant intéressant, c'est que une fois admise une telle généralisation audacieuse, Hilbert et Peano pourront encore étendre leur pouvoir de prévision à partir de cette nouvelle vérité première.
On comprend donc que ce qui est important pour la compréhension du monde arithmétique n'est pas de savoir si les nombres ``existent'' dans le ciel des idées ou non, ni de décider s'ils ont été créés par Dieu de toute éternité ou par le mathématicien intuitionniste, mais de savoir que
a) comme pour la connaissance de la nature, la pensée pure est compétente pour connaî tre les propriétés des nombres;
b) comme pour la connaissance de la nature, la pensée pure ne peut parvenir toute seule à toutes les propriétés des nombres; elle a besoin de vérités premières qui ne peuvent être déduites de celles qui sont déjà connues, et qu'on obtient en généralisant audacieusement des constats purement empiriques.
Bien sûr on peut oublier l'origine empirique des vérités premières et les présenter a posteriori comme des axiomes choisis librement; c'est ce qui a été fait avec les géométries non euclidiennes. Mais en quoi est-il nécessaire de développer cette mystification? Si on trouve un intérêt aux géométries non-euclidennes, cet intérêt suffit à les justifier. Ce n'était pas le cas il y a cent cinquante ans, car alors la polémique faisait rage et on ne pouvait laisser l'adversaire marquer un point. Mais aujourd'hui cela ne sert plus à rien.
L'avantage de l'arithmétique pour l'épistémologue est qu'elle constitue un monde extrêmement simple, comparé au monde physique. On peut y distinguer les prisonniers de la caverne, qui ne connaissent que des règles pour compter et ne savent pas procéder par déduction. La première strate du monde extérieur à la caverne est alors ce qu'on peut déduire des axiomes de peano, mais - en vertu de l'incomplétude - cela ne suffit pas à comprendre la totalité des mouvements des ombres projetées au fond de la caverne.
L'univers arithmétique finitiste est un univers beaucoup plus simple et plus transparent à notre entendement que l'univers physique; c'est pourquoi il est si précieux pour comprendre comment fonctionne la pensée; il est d'autant plus précieux qu'il présente des analogies non négligeables avec l'univers physique, ou plutôt (ce que je viens d'écrire n'est pas correct), les voies de la connaissance que nous utilisons pour connaî tre l'univers arithmétique présentent une analogie avec les voies de la connaissance que nous utilisons pour connaî tre l'univers physique.
Dans ce qui précède, la restriction à l'arithmétique finitiste est essentielle. Les grands cardinaux de Cantor ne peuvent être traités de cette manière extérieure, car en ce qui les concerne, il n'y a rien qui puisse jouer le rôle du programmeur ou du praticien borné. Si, conformément au projet de Hilbert, pour rester malgré tout dans le ``paradis créé par Cantor'', on étudie un système formel en tant que programmeur qui constate (mais ne déduit pas), on est simplement ramené au problème précédent, comme le montre la célèbre construction de Gödel. En aucun cas on n'accède alors au sens que les mathématiciens (à commencer par Cantor) donnent à leurs théorèmes.
Il y a donc une différence essentielle entre la connaissance des grands cardinaux (plus généralement, de ce qui n'est pas constructif, finitiste, ou calculable) et la connaissance des entiers naïfs: la seconde présente des analogies fortes avec la connaissance de la nature; la première, non.